д. Все это нужно уметь делать вручную, но на определенном этапе такую работу можно поручить компьютеру.

Для того, чтобы не утонуть в огромном количестве различных узко специализированных программ, стоит выбрать из них несколько универсальных, ориентированных на достаточно широкий круг решаемых задач. Для написания писем, статей и книг используют один из текстовых редакторов (например, Лексикон или Word); для расчета по таблицам — одну из электронных таблиц (чаще всего Excel), а для выполнения математических расчетов лучше всего подойдет одна из систем компьютерной алгебры (СКА), например DERIVE [1]. Эта непритязательная к машине (от IBM PC/XT и выше) СКА заменит вам калькулятор при расчетах по формулам, позволит численно и/или аналитически решить уравнения и их системы, построит двумерные графики и поверхности в трехмерном пространстве, а при связи с некоторыми 3D-программами [2,3] позволит создавать и просматривать интерактивные математические фильмы, т. е. изменяющиеся во времени поверхности, которые вы можете поворачивать в любом направлении в реальном масштабе времени (так, как будто вы держите их в руках) и влиять на направление их изменения, двигая соответствующий ползунок, связанный с параметрами эволюционирующих поверхностей.

Опорные образы

СКА «Математический помощник DERIVE» используется в Московском педагогическом государственном университете [4] уже около 10 лет [5]. Эта программа оказалась удобной при создании опорных образов — картинок, на которых отражены основные понятия и положения выбранной темы. Они обычно состоят из трех основных частей: схематичного видеообраза типичной ситуации, в которой встречается изучаемое явление, аналитического описания в виде формулы и/или уравнений, и соответствующих им графиков и решений, иллюстрирующих основные свойства. В некоторых случаях первую и третью часть удается совместить, как это сделано нами при создании опорного образа по школьной теме «Движение тела, брошенного под углом к горизонту» (рис. 1), где показана зависимость дальности полета от начальной скорости и угла бросания, а также случаи равной дальности при разных углах.

Рис.1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

В другом примере (рис. 2) все формулы, необходимые для изучения отражения поляризованного света от диэлектрика, даны в левом окне, а соответствующие им графики для случая отражения от поверхности воды (показатель преломления = 1.33) в окнах 2 и 3 в разных масштабах. Осталось даже место для степени поляризации и ее графика. Здесь a и b — углы падения и преломления, R — коэффициент отражения (reflection) для тангенциальной (Т) и нормальной (N) поляризаций. D — степень (degree) поляризации.

рис. 2. Формулы Френеля. Угол Брюстера.

Аналитические преобразования

Основное назначение СКА – производить символьные преобразования с формулами. Рассмотрим это свойство DERIVE на примере слегка измененной задачи из школьного задачника [8, 9] (рис. 3). Нам нужно выполнить только физическую часть решения – требуется составить систему уравнений, соответствующую задаче (1-ый аргумент функции SOLVE_() и немного помочь DERIVE, определив последовательность решения уравнений и то, относительно какой переменной их решать (2-ой аргумент). Всю рутинную часть работы выполнит компьютер — через несколько секунд он найдет аналитическое решение для всех переменных этой простой системы нелинейных уравнений (справа от знака равенства). Остается только произвести проверку размерности и подставить исходные данные.

Рис. 3. Решение системы уравнений из задачи о взлете самолета

Анализ размерности и точности

Идея оценки точности результатов вычислений по точности исходных данных очень проста, но ее реализация требует громоздких и утомительных вычислений. В этом опять помогает DERIVE (рис. 4). Первый аргумент функции EVAL_() это результат SOLVE_(), к которому дописан столбец размерности величин, а второй аргумент — значения, точность и размерность исходных данных. Если размерность первого и второго аргументов соответствуют друг другу, то заданные значения и их точность из второго аргумента подставляются в первый и выдаются значения искомых параметров, а также их точность и размерность, приведенная к основным единицам СИ. Если такого соответствия не получается, то возвращается сообщение «Ошибка в размерности».

Рис. 4. Проверка размерности, подстановка исходных данных и расчет точности

Новая версия Derive для Windows

DERIVE поддерживает не только формулы со скалярными величинами, но также и с векторными и комплексными. Пример компактного векторного описания эффекта Доплера и соответствующая поверхность частоты принимаемого сигнала в зависимости от положения наблюдателя относительно источника, а также скоростей источника и приемника изображена на рис. 5. Эту поверхность можно вращать вокруг разных осей и, таким образом, составить о ней более полное представление. Все предыдущие, а также большая часть последующих копий экрана получены в версии DERIVE для DOS, обладающей такими же математическими возможностями, как и версия для Windows. Отличия только в графическом интерфейсе. Последняя пятая версия DERIVE for Windows, проходящая сейчас бета-тестирование, позволяет не только строить поверхности, но и поворачивать их. Скоро поверхности будут у вас в руках!

рис. 5. Эффект Доплера

Компьютерное моделирование

Рис. 6 Лучи в сферическом зеркале.

Многие физические явления наблюдать в классе невозможно или очень сложно. В этом случае единственным выходом является компьютерное моделирование. На двух следующих рисунках изображена модель оптической скамьи со сферическим (рис. 6) и параболическим (рис. 7) зеркалом. Мы определяем уравнение сферического зеркала, строим его, проводим несколько параксиальных лучей и видим, что отраженные лучи пересекаются практически в одной точке (окно 1). После увеличение изображения (окно 2) видно, что это не так — имеется аберрация. Далее определяем уравнение параболического зеркала с тем же фокусом, строим его лучи (рис. 7, окно 1) и, увеличивая изображение (окно 2), видим, что аберрация отсутствует.

Рис. 7 Лучи в параболическом зеркале

В следующей, приведенной ниже задаче, перед проведением реального эксперимента необходимо тщательное моделирование сложного движения и его оптимизация.

Парашютист задумал прогуляться по отдаленному району. Если этот район расположен не очень далеко, то можно воспользоваться вертолетом, а если эту местность отделяют от исходной точки маршрута несколько сотен километров, то вертолет, даже с дозаправкой в воздухе, не годится. Придется лететь туда и обратно на самолете. Как добраться туда, вполне очевидно — долетел и опустился с парашютом, а вот как вернуться обратно на борт самолета? Как выглядит «парашют наоборот»?

Подняться на летящий самолет можно с помощью аэростата, привязанного за длинную (~150м) и прочную (сила разрыва Fр~1т) капроновую веревку и специального V-образного устройства для зажима веревки на носу самолета. Самолет налетает на веревку на высоте h~100м, зажимает ее и выдергивает парашютиста почти вертикально вверх. Парашютист поднимается до высоты порядка 100 м и веревка оказывается около заднего люка самолета, где ее захватывают и втягивают парашютиста внутрь [6]. Важно знать перегрузку парашютиста и его горизонтальное смещение на первых 20-30 метрах высоты, чтобы оценить минимальный размер лесной поляны, с которой его можно поднять.

Самолет, способный пролететь несколько тысяч километров, имеет посадочную скорость около 100 км/ч, а для того, чтобы он мог свободно маневрировать и попасть носом в веревку его скорость должна быть существенно больше — около 180 км/ч. Примем массу парашютиста с грузом равной 100 км/ч. Для того, чтобы рывок был менее резким, имеет смысл взять растяжимую веревку. Резиновая не подходит из-за малой прочности, а вот капроновая будет оптимальной. Такая веревка рвется при 17-процентном удлинении. Примем силу разрыва веревки равной 1 т. Отсюда ее жесткость k= = 10000Н/(100м*0.1) = 600Н/м. Допустим, что самолет движется со скоростью v=50м/с на высоте h=100м горизонтально, равномерно, прямолинейно и что он практически нечувствителен к рывкам веревки. Тогда координаты самолета xс=v*t и yс=h, где t — время. Сила растяжения веревки F=k*(l-h) зависит от ее длины в растянутом состоянии

, где x и y — координаты парашютиста. Система дифференциальных уравнений первого порядка вместе с начальными условиями, описывающая его движение и ее решение за 5 секунд с шагом 0.1, 0.25 и 0.5 секунды методом Рунге-Кутты, а также графики траектории, модуля скорости и ускорения приведены на рис. 8.

Рис. 8. Траектория, скорость и ускорение человека при подъеме на самолет.

Сравнение графиков, полученных при различных шагах интегрирования, показывает, что двадцати точек на заданном интервале вполне достаточно. Четко выражено отличие при различных шагах для ускорения и скорости, а траектории почти не отличаются и состоят, как это ни странно, всего из двух прямолинейных участков, хотя скорость и ускорение свидетельствуют о наличии колебаний. Действительно, период колебаний T массы m=100 кг на пружине жесткостью 1000Н/м будет , что хорошо соответствует графикам скорости и ускорения.

Сильные осцилляции ускорения — явный признак неоптимальности описанного в литературе режима. Хорошо тренированный человек при равномерной нагрузке выдерживает перегрузки до 12 g (g=9.81м/с2). В нашем случае нагрузка очень неравномерная, поэтому предельная перегрузка должна быть существенно меньше. Кроме того, сильное натяжение веревки приводит к нарушению центровки самолета и его сваливанию на нос, что при малой высоте очень опасно. Первый максимум ускорения (~7g) и последующие колебания будут значительно меньше, если в самом начале подъема «стравить» десяток-другой метров веревки. Это произойдет, если V-образный улавливатель зажмет веревку через некоторое время Dt , а до этого натяжение будет создаваться движущимся с сопротивлением в воздухе аэростатом. Если этого сопротивления будет недостаточно, то на него можно одеть дополнительный парашют. Итак, необходима оптимизация по высоте, размерам парашюта и времени проскальзывания веревки. Эти задачи вы можете попытаться решить самостоятельно. Оптимальная динамика подъема будет обеспечиваться при мгновенном прижиме веревки к барабану и управлению его проскальзыванием специальным процессором по алгоритму, настроенному на заданный вес, погодные условия, скорость и т. д. и адаптирующемуся к динамике подъема в реальном масштабе времени. Такая оптимизация сможет существенно повысить качество системы подъема, т. е. снизит перегрузки, а также высоту полета самолета, длину веревки, размеры аэростата, и приведет к резкому повышению «скрытности» прогулки.

Облегченный вариант подъема проиллюстрирован рис. 9. На нем показано положение веревки через каждую секунду и соответствующий график ускорения, из которого видно, что перегрузки не превышают 3 g, и поэтому такой способ подъема годится не только для парашютистов, но и для любых здоровых людей. Особенно полезным он может оказаться спасателям на море, в горах, в пустынях, при пожарах и т.д.

Рис. 9 ОПодъем с малыми перегрузками

Визуальная арифметика

рис.10. Электрическое поле монополя

Появление калькуляторов ни в коем случае не исключило необходимости уметь производить вычисления в уме. При правильном использовании они помогают научить устному счету. То же самое справедливо и для графических и аналитических калькуляторов.

СКА DERIVE при правильном применении [5, 7] позволяет быстрее и лучше научить устному счету не только с числами, но и при работе с формулами и графиками.

Рис.11. Электрическое поле диполя

Двух- и трехмерная визуальная арифметика развивает пространственное мышление. В одной из задач [5] требуется представить x, y и z компоненты электрического поля диполя (рис. 11) зная поле одного заряда (рис. 10). Для этого необходимо провести операции отражения, сдвига и сложения поверхностей.

Рис.12. Электрическое поле квадруполя

Представление электрического поля квадруполя Ex, Ey, Ez и |E| (рис. 12) по полю диполя намного сложнее, но все-таки возможно для тех, у кого пространственное мышление является ведущим. Очевидно, что начинать следует с двумерной арифметики, т. е. операций с графиками функций одной переменной. Трехмерная визуальная арифметика представлена здесь только потому, что она более выразительна и более наглядно выражает идею визуальных вычислений. В настоящее время мы рассматриваем вопрос о возможности обучения четырех- [2] (видеоряды) и даже пятимерной арифметике.

Интерактивное математическое видео

Рис. 13. Движущаяся модель волны цунами.

DERIVE вместе с программами, представленными ниже, позволяет создавать необычные графические модели, соединять их, вращать, на лету менять параметры и создавать простые мультфильмы. Эти дополнительные возможности обеспечиваются коммерческими (Acrospin, Cyclon-99, and DPGraph [2]) и/или бесплатными (3DV) [3] программами, объединенными с помощью бесплатных (Scancode) [8] и почти бесплатных (Hotkeys) [9] клавишных симуляторов. При этом требуется всего лишь простой преобразователь из формата DERIVE. Мы его создали, и появилась возможность получать графические движущиеся изображения выражений, полученных в DERIVE всего одним нажатием клавиши. Примером может служить цветная движущаяся модель гигантской океанской волны цунами (вид солитона) (рис. 13) [10]. Все это возможно при наличии Windows’95, а в DOS придется ограничиться множеством произвольно вращаемых трехмерных проволочных моделей 3D поверхностей и кривых.

Реальный физический эксперимент

Рис. 14. Обработка экспериментальных результатов с учетом погрешности измерений.

Derive полезен не только при компьютерном моделировании, но и при проведении экспериментов с реальными физическими объектами. Его применение в лабораторной работе по измерению зависимости магнитной проницаемости железа m от напряженности магнитного поля H по измерениям магнитной индукции B позволило не только быстро пересчитывать таблицу экспериментально измеренных значений B(H) в m(H) и сразу построить соответствующие графики, но и провести оценку точности полученных результатов — доверительных интервалов, обозначенных прямоугольниками (рис. 14).

Клавишный симулятор SCANCODE может быть использован для связи DERIVE со школьной компьютерной лабораторией L-микро [11] и обработки экспериментальных данных сразу после их сбора. При этом для перехода из одной программы в другую и передачи данных достаточно нажать всего на одну клавишу. Это дает реальную возможность быстрого получения результатов косвенных измерений с учетом погрешности измерения, построения соответствующих кривых и их сравнения с теорией (моделью).

Родственники DERIVE

Для управления экспериментами в реальном масштабе времени DERIVE пока не пригоден — нет команд обращения к портам ввода-вывода. Поскольку авторы DERIVE принимали участие в разработке мощных (f=20МГц, ОЗУ=2Мб) графико-аналитических калькуляторов TI-89 и TI-92 [12], то последние унаследовали всю математическую мощь DERIVE. Кроме того, они могут соединяться как с ПК, так и со специальной школьной цифровой системой сбора данных CBL (Calculator Based Laboratory — калькуляторная лаборатория) [16], имеющей десятки датчиков физических и химических величин и способной управлять достаточно медленными экспериментами в реальном масштабе времени.

Преимущества использования систем компьютерной алгебры в обучении очевидны. Поддержка аналитических преобразований, мощная графика и обработка данных способствуют развитию способностей как учащихся, так и учителей. Вопрос в том, чтобы их правильно применить. Попробуйте — и вы найдете множество интересных и оригинальных задач и решений.

Литература

  1. www.derive.com
  2. www.avidparker.com
  3. www.simtel.net/msdos/graphics/
  4. www.mpgu.edu
  5. Sergey V. Biryukov. Teaching Physics with DERIVE. International DERIVE Journal, 1995, v.2, N2, p.51-76.
  6. Никольский М. Авиация специального назначения. Авиация и космонавтика, 1999, N12, с.12-15
  7. Kutzler B. — www.kutzler.com/bk/a-pt/ped-tool.html.
  8. members.aol.com/bretjohn
  9. members.xoom.com/PostcardWare
  10. www.acdca.ac.at/kongress/ goesing/g_biryuk.htm
  11. www.corbina.ru/~snark
  12. www.ti.com/calc/flash/index.html

Бирюков Сергей Владимирович — к. ф. - м. н., доцент кафедры общей и экспериментальной физики МПГУ, тел. (095) 247-0441, E-mail: ciprel@cityline.ru, тема: derive

DERIVE помогает:

  • выполнять аналитические и численные преобразования;
  • строить графики;
  • анализировать размерность и точность;
  • моделировать физические явления;
  • создавать опорные образы;
  • развивать как логическое и образное мышление;
  • формировать целостное представление об изучаемом явлении используя его численное, аналитическое и образное представление;
  • обрабатывать результаты физических экспериментов.