Радиоактивный распад и закон больших чисел
Реальность предоставляет нам факты столь романтичные,
что воображение бессильно добавить что-либо к ним.
Жюль Верн
Всегда любопытно заглянуть в конец книжки и узнать, что случилось с главными героями.
В конце школьного учебника физики рассматривается интересная и непростая тема «Физика атомного ядра». Рассмотрение ведется на качественном уровне, формулируется только один важный количественный закон — закон радиоактивного распада. Он записывается так: число нераспавшихся атомов радиоактивного вещества N уменьшается со временем по формуле
N(t) = N02-1/T.Здесь N0 — число радиоактивных атомов в начальный момент времени (t=0), T — время, за которое распадается половина радиоактивных атомов, — период полураспада.
Сама формула довольно проста и понятна, ведь показательные функции изучаются в курсе школьной математики. Но физический смысл этого закона понять не так просто. Распад происходит не потому, что радиоактивные атомы «стареют». В учебнике физики Г. Я. Мякишева, Б. Б. Буховцева (11-й класс) говорится следующее: «Предсказать, когда произойдет распад данного атома, невозможно. Определенный смысл имеют только утверждения о поведении в среднем большой совокупности атомов. Закон радиоактивного распада определяет среднее число атомов, распадающихся за определенный интервал времени. Но всегда имеются неизбежные отклонения от среднего значения, и чем меньше атомов в препарате, тем больше эти отклонения. Закон радиоактивного распада является статистическим законом. Говорить об определенном законе радиоактивного распада для малого числа атомов не имеет смысла». Это очень необычно и не похоже на другие физические законы, изучаемые в школе. Оказывается, для одного атома или небольшого числа атомов нет никакого закона — все происходит случайно, а для большого числа атомов — закон есть. Сколько же нужно взять радиоактивных атомов, чтобы закон заработал? С какой точностью он выполняется? Каким образом из случайности возникает закономерность?
Как ответить на эти вопросы? В школьных условиях невозможно провести тонкие опыты с радиоактивными препаратами. К счастью, сегодня в школе есть современные компьютеры, позволяющие моделировать самые различные физические процессы. Такое моделирование, конечно, не заменяет реальный эксперимент, в котором открывают новые факты. Но построение математической компьютерной модели позволяет проникнуть в суть физических явлений как при объяснении известных фактов, так и при исследовании новых. Интересно отметить, что в Европейском центре ядерных исследований ЦЕРН’е для обоснования необходимости финансирования любого эксперимента авторы должны представить компьютерную модель, демонстрирующую осуществимость и перспективность планируемого эксперимента.
Не будем сразу браться за моделирование распада радиоактивного вещества. Попробуем смоделировать более простой и знакомый случайный процесс — бросание монет. Выпадение орла или решки в одном броске является случайным событием, и распад радиоактивного атома за данный промежуток времени — событие случайное. Здесь есть глубокая аналогия. Выпадение орла в одном броске — случайность, но все знают, что если много раз бросить монету, то орел выпадет примерно в половине случаев (закономерность!).
Проведем эксперимент: подбросим с закручиванием одну монету десять раз. У нас орел выпал семь раз. А у вас сколько получилось? А что получится при следующих десяти бросках? А при тысяче бросков? А при следующей тысяче бросков? Что означают слова «выпадает примерно половина орлов»?
Тут на помощь приходит компьютерный эксперимент. Поручим компьютеру осуществлять броски монет, то есть разработаем соответствующую программу. Мы написали также и программы для моделирования процесса радиоактивного распада, но об этом чуть позже. Программы написаны на языке Паскаль, точнее, в Delphi – среде разработки приложений Windows 95/98.
Заметим, что можно бросить одну монету десять раз и подсчитать количество выпавших орлов, но это все равно что бросить один раз десять монет и подсчитать количество выпавших орлов.
Опыт с броском нескольких монет можно провести много раз. Давайте возьмем для определенности четыре монеты. При броске четырех монет может выпасть ноль орлов (все решки, правда, очень редко), может выпасть один, два, три или все четыре орла (так же редко, как 0 орлов). Итак, всего есть пять возможных исходов опыта. Мы чувствуем, что чаще всего будет выпадать два орла. Проверим это в компьютерном эксперименте.
Броски монет моделируются в программе датчиком случайных чисел. Набор из нескольких монет бросается некоторое количество раз. Программа подсчитывает, сколько раз в этой серии опытов выпало ноль орлов, один орел, два орла и т. д., вплоть до случая, когда выпадут все орлы. Количество монет и количество опытов задает пользователь, работающий с программой. Вот фрагмент программы:
FOR i := 0 TO n_monet do orl[i]:=0;
{перед серией бросков числа}
{выпадений i штук орлов orl[i] обнуляются}
FOR j := 1 TO n_opit do
{производим n_opit штук бросков}
begin
orlvop := 0;
{количество выпавших в данном
броске орлов обнулено}
FOR i := 1 TO n_monet do
{проверяем, как упала каждая из монет}
IF random > 0.5 THEN orlvop := orlvop + 1;
{если орел, добавь 1}
orl[orlvop]:=orl[orlvop]+1;
{в данном опыте выпало orlvop орлов}
end;
{добавим в orl[orlvop] единицу}
Здесь n_monet — количество подбрасываемых монет, а n_opit — число опытов (число бросков этой группы монет). В orl[i] запоминается, сколько раз в этой серии опытов выпало i штук орлов. Факт выпадения орла определяется по датчику случайных чисел:
IF random > 0.5 THEN orlvop := orlvop + 1.На рис.1 приведен снимок экрана работающей программы.
 |
| Рис. 1. Компьютерный эксперимент, показывающий, что доля выпадения различного количества орлов пропорциональна биномиальным коэффициентам |
Четыре монеты брошены 10 000 раз. Два орла выпали 37 847 раз, четыре орла 6159 раз. В нижней строчке приведены соответствующие доли выпадений. Видно, что два орла выпадает в шесть раз чаще, чем ни одного или четыре. Если бросать четыре монеты по 10 000 раз еще и еще, числа выпадений орлов несколько меняются, но доли выпадений остаются практически неизменными. Если количество бросков невелико, то изменения в числах выпадений и долях очень существенны. Проведем эксперименты для различного количества монет с большим числом опытов. Легко убедиться, что получающиеся доли выпадения орлов пропорциональны биномиальным коэффициентам. Это видно из сравнения полученных результатов с треугольником Паскаля, в котором в n-й строчке приведены коэффициенты бинома n-й степени.
Конечно, такой результат получился не случайно. В опыте с одной монетой орел может выпасть или не выпасть с одинаковой вероятностью. Когда мы бросаем две монеты, возможны четыре исхода: решка-решка, орел-решка, решка-орел, орел-орел. Все эти исходы равновероятны. Ноль орлов выпадает в одном случае, один орел — в двух, два орла — в одном. А 1, 2, 1 – это биномиальные коэффициенты бинома с показателем, равным 2:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.Бином 3-й степени имеет вид:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2+b3.Запишем бином Ньютона в общем виде
(a + b)n = C0nan + C1nan-1b + C2nan-2b2 + ... + Cmnan-mbm + ... + Cnnbn, n!
где Cmn = -------- , n!=1•2•3•...•(n-1)•n.
m!(n-m)!
Из комбинаторики известно, что из n монет выбрать m штук можно Cmn способами. Биномиальный коэффициент Cmn определяет число сочетаний из n предметов по m предметов. Так что доля (вероятность) выпадения m орлов в эксперименте с n монетами как раз задается биномиальными коэффициентами.
Cформулируем классическое определение вероятности: вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов (при большом количестве опытов). Вероятность выпадения (или не выпадения) орла при одном броске одной монеты равна 1/2.
Распределение вероятностей выпадения m орлов из n монет (доля выпадения m орлов) дается биномиальными коэффициентами. Поэтому распределение, полученное в нашем компьютерном эксперименте, назовем биномиальным распределением.
Сумма биномиальных коэффициентов равна 2n. В самом деле, положим в формуле для бинома
a=b=1: (1 +1)n = C0n + C1n + C2n + ... + Cmn + ... + Cnn= 2n.Сумма долей (вероятностей) выпадения 0, 1, 2, 3...n орлов равна 1. Для того чтобы наглядно увидеть пропорциональность биномиальным коэффициентам, эти доли в программе мы умножали на 2n. Именно результат с умножением приведен в программе (рис. 1). Для одной монеты доли равны.
Наши компьютерные эксперименты с монетами помогают лучше понять характер закона радиоактивного распада. Явление микромира, в том числе распад радиоактивного ядра, описываются квантовой механикой. В этих явлениях принципиальную роль играет случайность. Это нелегко воспринять. Недаром сам Эйнштейн восклицал: «Я не верю, что Бог играет в кости!»
Никак нельзя определить, распадется данное ядро за некоторый промежуток времени или нет. Но можно сказать, что за интервал времени, равный периоду полураспада T, ядро распадется с вероятностью 1/2. Можно образно сказать, что Бог (природа) бросает монету для каждого ядра и так определяет, распасться ему или нет. Вероятность распада m ядер из n имеющихся за время T дается биномиальным распределением. Если наблюдать за четырьмя ядрами в течение времени, равного периоду полураспада, то могут распасться все ядра, три, два, одно или ни одного. Это вещь случайная. Но если много раз повторить опыт, чаще всего окажется, что распались два ядра. Так проявляет себя случайность. Что же будет, если ядер много? Как из этой случайности получается закон радиоактивного распада?
Продолжим опыты с монетами, но брать будем не только малое, но и большое количество монет. В следующей программе подразумевается, что распределение вероятностей при большом числе опытов дается биномиальными коэффициентами, а числу монет разрешено меняться от 2 до 100 000 штук. Надо научиться вычислять в программе биномиальные коэффициенты. Это не такая уж простая задача, ведь n! очень быстро растет с n, и значения переменных выходят за значения, допустимые в компьютере. С этой проблемой удалось справиться логарифмированием выражения для биномиальных коэффициентов, деленного на 2n:
ln(Cmn/2n) = ln1 + ln2 +...+ lnn + ln1 - ln2 - ... - lnm+ + ln1 - ln2 -... ln(n - m) - nln2
Эти логарифмы удобно заготовить в начале работы программы, чтобы не терять времени на их многократные вычисления в дальнейшем. Введение множителя 1/2n — просто выбор удобного масштаба (в математике это называют выбором нормировки).
Биномиальные коэффициенты программа отображает в виде столбчатых диаграмм. На рис. 2 приведена такая диаграмма для n=10 (на рисунке использовано обозначение N).
 |
| Рис. 2. Биномиальное распределение для n=10. |
Используя эту программу, легко экспериментировать с различным количеством монет. Число монет выбирается с помощью линейки прокрутки или задается в окне ввода. Распределения для n = 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000 можно построить, просто нажав на соответствующие кнопки на форме. Построим эти распределения на одном рисунке. Результат приведен на рис. 3. Диаграммы при различных n масштабированы так, чтобы значения аргумента от 0 до n в каждом случае располагались на экране на одном отрезке. По оси y, где отложена доля событий, также проведено масштабирование, причем так, что величины максимумов пиков распределений находились на одном уровне.
 |
| Рис. 3. Биномиальное распределение при n = 10, 100, 1000, 10 000, 100 000. |
Анализируя рис. 3, обнаруживаем замечательный результат: биномиальное распределение при больших n имеет ярко выраженный пик, относительная ширина которого сильно уменьшается с ростом n. Так что, чем больше число монет n, тем точнее при броске выпадает половина орлов. Хотя всегда имеется разброс результатов, который определяется шириной пика. Этот разброс и показывает, какова доля случайности в проявившейся жесткой закономерности (выпадении в броске n монет с высокой точностью n/2 орлов).
На рис. 4 пики для n = 1000, 10 000 и 100 000 приведены в увеличенном виде.
 |
| Рис. 4. Пик при n = 1000, 10000, 100000 в увеличенном виде |
Определим, что такое ширина пика. На самом деле, удобнее работать не с шириной, а с полушириной (величиной разброса). Полуширину пика будем измерять на его полувысоте. Определить зависимость полуширины пика от числа монет n тоже можно поручить машине. Что и было сделано в программе. Результат ее работы можно увидеть в виде графика (рис. 5), если нажать на узкую длинную безымянную кнопку справа на форме (хоть кнопка и безымянная, всплывающая подсказка у нее есть, как и у других элементов окна).
 |
| Рис. 5. Зависимость полуширины пика от числа монет n |
Из рис. 5 обнаруживаем замечательный факт: полуширина пика зависит от числа брошенных монет N практически как 
N. (напомним, n малое и N большое — это одно и то же). Значит, относительное отклонение (полуширина) имеет вид
N /N = 1/N
и становится все меньше при росте N. Этот факт называется законом больших чисел и показывает, как из случайного вырастает закономерность.
Этот закон получен в настоящей работе из компьютерного эксперимента. Его можно получить также аналитически из выражения для биномиальных коэффициентов, причем обычными средствами школьной математики. Для этого надо от ветить на вопрос: на сколько нужно отступить от n/2, где находится максимум пика, чтобы величина биномиального коэффициента упала вдвое?
В случае, когда монета несимметрична, вероятность выпадения орла p, а решки 1 - р распределение вероятностей выпадения m орлов имеет вид Cmnрm(1 - р)n - m. На самом деле именно это распределение принято называть биномиальным. При р=1/2 оно принимает вид распределения для симметричных монет, который мы использовали раньше, Cmn(1/2n). Несимметричную монету можно представить себе, например, как кость. Выпадение грани с одним очком будем считать выпадением орла, а любой другой – не выпадением орла. Тогда р = 1/6, 1 - р = 5/6. Моделирование бросков n таких несимметричных монет полностью аналогично проведенному выше моделированию с симметричными монетами. Для несимметричных монет пик распределения с положения n/2 сдвигается в положение pn, то есть выпадает pn орлов с отклонением (полушириной), подчиняющимся закону больших чисел.
Проведенное обсуждение закона больших чисел проясняет характер закона радиоактивного распада. Возьмем N0 радиоактивных ядер, разобьем время наблюдения на интервалы, равные периоду полураспада T. Ситуация теперь полностью аналогична броскам симметричных монет: за один интервал распадется половина ядер с возможным отклонением порядка N. При больших N относительное отклонение равно примерно 1/N, то есть очень мало, и уменьшение числа не распавшихся ядер происходит по закону N(t) = N02-t/T. Когда ядер остается мало, отклонения от половины становятся все большими – проявляется случайный характер процесс распада.
При моделировании будем разбивать время наблюдения на интервалы Δt и подсчитывать число nr распавшихся за время δt ядер, бросая несимметричную монету (кость) для каждого ядра:
if randomЗдесь р – вероятность распада ядра за время Δt, т. е. отношение количества распавшихся за время Δt ядер к исходному.
Вычислим эту вероятность по известному периоду полураспада Т данного радиоактивного вещества. Перепишем закон радиоактивного распада следующим образом:
N(t) = N02-t/T = N0e-(ln2)t/T = N0e-λt.Здесь λ = ln2/T называется постоянной распада.
Пусть N(t) = N0e-λt– число нераспавшихся ядер к моменту времени t, тогда нераспавшихся ядер в момент времени t + Δt будет N(t + Δt) = N0e-λ(t + Δt) + Δt). Значит, за время Δt распалось количество ядер, равное N(t) – N(t + Δt). Найдем теперь вероятность распада
p = (N0e-λt - N0e-λ(t + Δt))/N0e-λt = = 1- eλΔtОсновной блок программы моделирования имеет вид
for i:=1 to nt do {бросай nt раз несимметричную монету} if random
где nt – число нераспавшихся ядер к моменту t, nr – число ядер, распавшихся за время от t до t+Δt.
Программа моделирования может работать в двух режимах: показ числа распавшихся ядер за последовательные интервалы времени δt или показ числа нераспавшихся к этим моментам времени ядер.
 |
| Рис. 6. Картина распада 20 радиоактивных ядер |
Если проследить за числом нераспавшихся ядер (возьмем за исходное количество 20 штук), то картина будет такого типа, как изображено на рис. 6. При каждом новом запуске гистограммы на рис. 6 меняются в соответствии со случайным характером процесса распада. Никакой гладкой зависимости нет.
Возьмем большое исходное количество ядер. На рис. 7 представлен результат моделирования для 10 000 ядер. Видно, что зависимость изменения N(t) — гладкая падающая показательная функция. Повторные запуски процесса распада приводят к такому же результату — картина не меняется. Точнее, она меняется, но отклонения согласно закону больших чисел малы по сравнению с N и на рисунке не видны. В случайном проявилась жесткая закономерность.
 |
| Рис. 7. Распад большого количества ядер |
Программа позволяет проводить эксперименты по распаду микроскопических количеств радиоактивного вещества (до 1 000 000 штук). Период полураспада, время и интервалы наблюдения задаются пользователем. Такой компьютерный эксперимент помогает хорошо понять, почему физический закон радиоактивного распада столь необычен.
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ:
Мангазеев Борис Викторович — к. ф.- м. н., доцент каф. теор. физики Иркутского госуниверситета, зав. лаб. информатики гимназии № 1 г. ИркутскаМангазеев Виктор Борисович — студент 1-го курса физ. ф-та Иркутского госуниверситета