Роль дискретной математики в научной работе старшеклассников

Оправданны ли значительные затраты на узкоспециализированное обучение в классах гимназий и лицеев? Не достаточно ли «просто хорошо учить» всех? Попытаемся ответить на эти вопросы на примере организации научной деятельности учащихся физико-математических и экономических классов лицея Иркутского государственного университета.

Двадцатилетний опыт работы автора со студентами университета и одаренными учащимися ряда инновационных школ Иркутска и области дает основание утверждать, что безусловно способные к математике молодые люди часто теряют к ней интерес, еще, по сути, и не приступив к изучению. Это происходит в основном по двум причинам.

Во-первых, школьный учитель, ориентированный на «средний» уровень класса, часто не хочет, а иногда и не может давать более сильному или более способному из своих учеников адекватные его уровню задания, что ведет к угасанию интереса со стороны школьника: либо задания слишком просты — зачем стараться?, либо слишком сложны — зачем пытаться?

Во-вторых, учитель, перегруженный проверкой тетрадей и другими видами учебной работы, обычно не в силах сформулировать посильное и понятное для одаренного школьника индивидуальное (а иногда и коллективное) задание с элементами научного исследования.

Первая из двух упомянутых выше проблем в той или иной степени решается в большинстве инновационных средних учебных заведений г. Иркутска. Мы же рассмотрим более подробно вторую, которая чаще всего не поддается столь успешному решению.

В последние годы в Иркутской области появилось два престижных научных форума учащихся старших классов. Речь идет об областной конференции школьников «В мир поиска, в мир творчества, в мир науки» (г. Иркутск) и региональном туре Международного конгресса «Шаг в будущее» (г. Усолье-Сибирское). Основным пунктом этих конкурсов является выступление на различных секциях одаренных школьников с докладами о результатах собственных, иногда достаточно интересных достижений в той или иной области знаний. Работы, выполненные лицеистами под руководством автора данной статьи, были, за редким исключением, представлены на секциях «Математика», «Прикладная математика» и «Информатика». В чем же состоит специфика постановки задачи и хода выполнения такого рода комплексных проектов?

Появление современных информационных и компьютерных технологий привело не только к оригинальным трактовкам известных и формулировке ряда новых, ранее просто принципиально невозможных, как «чисто теоретических», так и «прикладных» математических задач, но и к возрождению целой области науки, называемой «дискретная математика». Наличие в данной области математики таких достаточно наглядных и доступных для способных и в определенной мере настойчивых учащихся разделов, как дискретная теория множеств, перечислительная комбинаторика, теория графов, математическая логика, дискретная теория вероятностей и математическая статистика, позволяет сформулировать на посильном для школьника уровне целый ряд различных исследовательских задач. Этому же, несомненно, способствует введение в учебный процесс наряду со школьными дисциплинами «математика» и «информатика» такого, еще сравнительно редкого для подавляющего большинства общеобразовательных школ курса, как «дискретная математика», который, помимо прочего, служит еще одним мостиком между указанными предметами.

Кузьмин О. В. Введение в перечислительную комбинаторику: Учеб. пособие. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1995. - 112 с.

Кузьмин О. В. Логические задачи: Учеб. пособие. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1999. - 204 с.

На наш взгляд, возможно различное использование компьютера при выполнении (и не только школьниками!) исследовательских работ из области дискретной математики: либо ставится чисто математическая задача, а ПК отводится лишь вспомогательная или иллюстративная роль; либо имеющая самостоятельный интерес математическая задача решается методами информатики и программирования; либо (и это, пожалуй, самое перспективное) первоначальная формулировка итеративно усложняется, выдвигаются различные гипотезы, ставится «численный эксперимент», а полученные в итоге формулы и утверждения доказываются чисто математическими средствами. При этом у исполнителей резко возрастает мотивация к обучению, и не только на уроках математики и информатики.

Организованная подобным образом автором научная работа с группой учащихся лицея ИГУ дает свои плоды. Во-первых, ребята становятся победителями и призерами не только на упомянутых выше научных форумах школьников (за последние три года пять из них стали победителями и были без экзаменов зачислены на математический факультет ИГУ), но и на конференциях и конкурсах более высокого ранга, в частности на XXXV – XXXVII Международных студенческих конференциях (г. Новосибирск, СУНЦ НГУ). Во-вторых, полученные при этом знания по математике и информатике помогают им успешно выступать на других соревнованиях школьников: есть среди учащихся победители и призеры городских и областных (а по математике и зональных) олимпиад. И наконец, в-третьих, большинство из них, обучаясь на I-III курсах математического факультета ИГУ, продолжают заниматься наукой, более половины уже имеют научные публикации, а четверо стали Соросовскими студентами.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих предлагаемую технологию организации научной работы школьников.

В сентябре 1996 года при подготовке к олимпиаде по математике учащимся было предложено следующее упражнение (см., напр., [7, стр. 9]).

Задача 1. Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами 199 на 991?

Решение (для данных размеров!) достаточно очевидное и, после небольшого обсуждения, о нем можно было бы благополучно забыть, но... Реплика педагога: «А что будет в общем случае?» заставила одного из участников факультативных занятий, 11-классника Антона Баранчука, подойти после звонка к преподавателю, и... началась работа над (пока еще математически не поставленной!) темой.

Задача 2. Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами N на M?

Для решения этой задачи был поставлен эксперимент на компьютере, для чего составлялась программа подсчета числа единичных квадратов, в которых побывает точка при движении по диагонали с достаточно малым фиксированным шагом.

На основании анализа численного эксперимента было сформулировано, а затем и доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Диагональ в прямоугольнике N на M пересекает ровно (N+M-K) единичных квадратов, где K = НОД(N, M).

Далее была предложена еще одна задача (см., напр., [8, стр. 17]), которая, казалась бы, имеет мало общего с задачами 1 и 2.

Задача 3. Плоскость покрыта квадратной решеткой. Можно ли через любой узел провести прямую, не проходящую больше ни через один узел решетки?

Численный эксперимент и последующий анализ не только подтвердил известный факт, что существует бесконечное множество таких прямых, но и позволил выйти на задачу о рациональном приближении произвольного иррационального числа (а эти вопросы близки к проблемам построения и использования номограмм) и некоторые задачи математического бильярда.

Разумеется, ничто не ограничивает нас в выборе именно прямоугольной решетки, главное — это самоподобие и тождественность составляющих ее элементов. Простейшим примером такого рода решетки может служить паркет. В итоге после работы с доступными, в том числе и иностранными, библиографическими источниками окончательная формулировка темы приобрела следующий, на первый взгляд весьма далекий от первоначальной постановки и математически достаточно строгий, вид: «Перколяция конечных мозаичных структур».

Эти результаты, а также приведенные в работе примеры практического применения рассмотренной перколяции (числа Фибоначчи в треугольнике Паскаля, проверка точности измерительной аппаратуры, нахождение НОД и т. д.) позволили А. Баранчуку стать победителем не только I областной конференции «В мир поиска, в мир творчества, в мир науки» (г. Иркутск, 1997 г., диплом I степени), но и на XXXV Международной студенческой конференции (г. Новосибирск, СУНЦ НГУ, 1997 г., диплом I степени по секции школьников).

Автор убедился, что надлежащим образом сформулированная задача из области дискретной математики может быть предложена учащимся в качестве темы научно-исследовательской работы. Дальнейший опыт подтвердил этот вывод: старшеклассники успешно решали поставленные задачи, представляя интересные работы исследовательского характера не только на ежегодную научно-практическую конференцию лицея ИГУ, но и на другие молодежные научные форумы.

По нашему мнению, работа над исследовательской темой нарождает, кроме интеллектуального соперничества, дружеские отношения между школьниками, создает ощущение общности цели, атмосферу взаимопомощи, т. е., по сути, благодаря совместной работе складывается временный творческий коллектив.

В качестве примера возьмем такую группу, которая возникла в лицее ИГУ в 1997/98 учебном году. Сначала каждый из трех лицеистов (11-классники Ирина Пройдакова, Михаил Гранин и Тимофей Логинов), занимаясь индивидуально под руководством автора данной статьи, выполнили исследовательские работы «Траектории на решетках и числа Каталана», «Траектории на решетках с запрещенными позициями» и «Алгоритмические задачи на графах», которые на II областной конференции (1998 г.) были оценены дипломами I и III (секция математики) и II степени (секция информатики) соответственно. После XXXVI Международной студенческой конференции (1998 г.), где выступления ребят были отмечены оргкомитетом по секциям школьников, а М. Гранин получил диплом III степени (секция математики), они решили продолжить работу совместно и занимаются этой тематикой, являясь теперь уже студентами математического факультета ИГУ.

Другим примером коллективного подхода может служить работа «Математические модели лабиринтов», которую лицеисты Алексей Казимиров и Леонид Рябец выполняли совместно в 10-м и 11-м классах. В работе предложена классификация и способы задания лабиринтов, равнение некоторых методов прохождения лабиринтов, рассмотрен ряд задач и приложений при построении математических моделей пещерных комплексов, созданы диалоговые игровые программы, иллюстрирующие представленные методы. С этой работой ребята успешно выступали в 1999 году на различных секциях конференций и конкурсов: на III областной конференции они получили диплом I степени (секция информатики), на конгрессе «Шаг в будущее» — диплом I степени (секция прикладной математики), на XXXVII Международной студенческой конференции — диплом II степени (секция математики).

Приведенные примеры демонстрируют, что, с одной стороны, курс «дискретная математика», включенный в учебные планы классов физико-математического и экономического профиля, способствует развитию творческого мышления учащихся. С другой стороны, залогом успешного выполнения работ комбинаторной тематики, отмеченных на конференциях и конкурсах, является интеграция с углубленными школьными курсами математики и информатики.

Литература

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ:
Кузьмин Олег Викторович — Соросовский доцент, Соросовский учитель, к. ф.-м. н., доцент ИрГУ, заведующий лабораторией педагогического творчества ИрГУ. Телефон: 8 (395-2) 36-54-70, E-mail: quz@irk.ru