Итак, еще раз: что же такое когнитивная компьютерная графика (ККГ)? На почти обыденном, почти бытовом языке - это новый подход к использованию обычной компьютерной графики для визуализации, как правило, весьма абстрактного СМЫСЛА различных предметных областей и проблемных ситуаций. Визуализации смысла с чисто "прагматической" целью порождения ПРИНЦИПИАЛЬНО НОВОГО ЗНАНИЯ.
Поскольку далее речь идет о применении ККГ в теории чисел, т. е. о ККГ-визуализации смысла теории чисел, то, согласно канонам научного "жанра", прежде всего необходимо определить, в чем же состоит этот смысл.
Пытаясь ответить на этот очень непростой вопрос, многие известные математики (Делоне, Хинчин и другие) отмечали особенность теории чисел, которая отличает ее от других разделов математики. Многие знаменитые проблемы теории чисел (например, проблема простых чисел, проблема Ферма, проблема Гольдбаха и ряд других "вековых" проблем) формулируются столь просто, что их без особого труда понимает даже школьник, но вот их решение годами, а подчас и столетиями не поддается усилиям самых крупных ученых.
Причина такого интеллектуального парадокса состоит в следующем. Как известно, любое натуральное число можно представить в виде суммы его слагаемых, причем многими способами. Такое фундаментальное свойство натуральных чисел называется аддитивностью. С другой стороны, любое натуральное число, кроме, естественно, простых чисел, можно различными способами представить в виде произведения его сомножителей. Это фундаментальное, свойство называется мультипликативностью натуральных чисел. Так вот, большинство задач теории чисел основано на сложной взаимосвязи этих двух абстрактных теоретико-числовых свойств натуральных чисел.
Очевидно, что взаимосвязь двух абстрактных понятий есть понятие более высокого уровня абстрактности. Именно такая суперабстрактность связи между абстрактной аддитивностью и абстрактной мультипликативностью натуральных чисел и является главной причиной тех уникальных трудностей, с которыми сопряжено решение проблем теории чисел. Именно эту суперабстрактную связь как фундаментальное свойство очень многих теоретико-числовых проблем мы и будем рассматривать как смысл всей классической теории чисел. Именно эту связь мы и намереваемся ККГ-визуализировать.
Чрезвычайно простая и естественная идея такой ККГ-визуализации представлена на рис. 1.Как было сказано выше (см. эпиграф), "натуральные числа создал Господь Бог. Все остальное - дело рук человеческих". Поэтому "берем" этот, Богом данный бесконечный ряд конечных натуральных чисел:
1, 2, 3,…, n, … (1)
и приступаем ко "всему остальному".
Определим на множестве (1) абсолютно любое теоретико-числовое свойство (или, что одно и то же, предикат) P(n).
Например, простейший предикат:
P(n) = "число n является квадратом некоторого натурального числа".
Очевидно, что, например, высказывания P(9), P(25), P(100) будут истинными (т. е. для указанных натуральных чисел предикат P принимает значение "истина" или "да"), а высказывания P(8), P(26), P(101) будут ложными (т. е. для указанных натуральных чисел предикат P принимает значение "ложь" или "нет").
Теперь возьмем очень длинную узкую ленту, разметим ее на квадратики и в эти квадратики последовательно запишем натуральные числа последовательности (1). Затем раскрасим (в прямом смысле слова) каждый квадратик нашей ленты в соответствии со следующим правилом:
"Для любого натурального числа n, если P(n) = "да", то n-ый квадратик закрашиваем, например, в желтый цвет; если же P(n) = "нет", то n-ый квадратик закрашиваем, например, в синий цвет".
Далее фиксируем произвольное натуральное число, например число 8 (такое число назовем модулем нашего будущего ККГ-изображения) и, последовательно нарезая нашу ленту на одинаковые "куски" по 8 квадратиков-чисел в каждом, аккуратно "наклеиваем" эти "куски" друг под другом. Результат такого "дела рук человеческих" представлен на рис. 1 в виде двухцветной таблицы (а).
Иной читатель скажет: "Раскрасили, нарезали, склеили … Ну и что?" А то, отвечу я, что вам, дорогой читатель, повезло стать соучастником исторического события. И не я, а вы вместе со мной только что превратили довольно скучную (для рядового Homo Sapiens) в своем статическом однообразии бесконечную одномерность в цветомузыкальную динамическую двумерность Бесконечного!
Что это дает? Не будем забегать вперед. Предложу лишь аналогию: с формальной точки зрения, теория относительности представляет собой переход от "пустого" трехмерного пространства и независимого от этого пространства одномерного времени Ньютона к миротворящей динамике "четырехмерности" Пространства – Времени Эйнштейна.
Но пойдем дальше. Выше, исключительно для пояснения "алгоритма" ККГ-визуализации смысла теории чисел, я использовал простейший предикат P(n), истинные значения которого порождают хорошо знакомую школьникам последовательность натуральных квадратов:
1, 4, 9, 16, 25, … , n2, … (2)
В общем же случае предикат P(n) описывает любые аддитивные свойства натуральных чисел. Можно поэтому сказать, что цвет квадратиков в таблице (а) моделирует на визуальном уровне аддитивные свойства натуральных чисел. С другой стороны, в любой, скажем, j-ый столбец нашей таблицы попадают те и только те натуральные числа, которые при делении на модуль таблицы дают один и тот же остаток, а именно число j. В таком случае положение любого натурального числа в таблице визуально моделирует мультипликативные свойства натуральных чисел.
Но в таком случае цветной орнамент-образ в таблице (a) как целое показывает нам дважды абстрактную связь между аддитивными и мультипликативными свойствами натуральных чисел, т. е. именно суть и смысл теории чисел, описанные нами выше.С помощью компьютера процесс построения этой таблицы может быть и озвучен. Впрочем, такую таблицу можно "проиграть" и после ее построения. Конечно, такая музыка отличается от классических произведений Баха, Моцарта или Бетховена, но напоминает отдельные места из, скажем, произведений Шнитке.
Так выявляется цветомузыкальный ККГ-образ суперабстрактного теоретико-числового объекта, ведущий нас к эзотерической сути многих проблем теории чисел.
Поскольку в дальнейшем нас будет интересовать именно эта суть, а не конкретные свойства конкретных чисел, мы будем теперь стирать конкретные числа - пусть не отвлекают нас от постижения чистой сути. Например, так, как это сделано на рис. 1b.
Уменьшение размера квадратиков позволяет существенно увеличить обозреваемый отрезок ряда (1). Меняя к тому же модуль изображения, мы получим анимационный цветомузыкальный ККГ-фильм о динамическом поведении исследуемой сути теоретико-числовой проблемы (см. рис. 1c,d).ЧТО ТАКОЕ ПИФОГРАФИЯ? Как известно, великий Пифагор превыше всего на свете любил высшую мудрость и даже придумал для этой своей высокой любви специальный термин - ФИЛОСОФИЯ (греч. phileo - люблю, sophia - мудрость). Ему приналежат слова: "Мир есть Число… и Гармония поющих небесных сфер". Таким он видел изначальное единство окружающего нас видимого и невидимого мира.
Цветомузыкальные ККГ-изображения числовых объектов позволяют нам убедиться в этом единстве. Назовем такие образы ПИФАГОРОГРАММАМИ или, что более благозвучно, ПИФОГРАММАМИ абстрактных теоретико-числовых объектов.
Музыка пифограмм - так же, как и музыка "поющих небесных сфер" Пифагора - отличается от классической музыки одним фундаментальным свойством: она несет в себе и сообщает человеку в неискаженной ритмической форме информацию об инвариантной структуре тех абстрактных математических объектов, которые на визуальном уровне демонстрирует соответствующая пифограмма. Нередко абсолютно новый математический факт (идею, гипотезу) удается услышать и открыть раньше, чем на экране компьютера появится ее визуальный образ.
Для истинных ценителей классической музыки отмечу, что музыку любой пифограммы можно "встраивать" в произведения великих композиторов. Многим слушателям-математикам очень нравится "Ave Maria" Баха-Гуно-Гаусса: наслаждаясь бессмертным творением Баха-Гуно, вы одновременно постигаете абстрактно-эзотерический смысл знаменитой теоремы великого Гаусса о суммах трех квадратов неотрицательных целых чисел.
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ХОРОВОДЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ А теперь - несколько простейших пифограмм.
На рис. 2 представлена статическая пифограмма хорошо известного ряда (2) квадратов натуральных чисел. В динамике (при непрерывном изменении модуля изображения) картина оживает, и скопления точек начинают двигаться по самым фантастическим параболическим траекториям. Возникает изумительное ощущение созерцания мира звезд. Почему? Да потому, что "встроенной квадратичности" ряда (2) подчиняются даже спектры атома водорода – основного вещества Вселенной, а небесные тела, как известно, движутся по траекториям конических сечений, т. е. по эллиптическим и параболическим траекториям. Потому, наконец, что мы так же любознательны, как и наши далекие предки. Пращуры наши тысячелетиями созерцали "звездное небо над головой и нравственный закон в своей душе" (И. Кант). И если вы не испытаете чувства потрясения при созерцании этого чуда (не забудьте, что при этом звучит пифографическая музыка…), то могу с уверенностью утверждать, что истинная математика XXI века – не ваше призвание.
Именно ККГ-визуализация позволила открыть новые, совершенно неожиданные свойства натуральных квадратов. На рис. 3b представлена пифограмма отрезка [1,736] натуральных квадратов по модулю 16, а на рис. 3c – более представительного отрезка [1, 2272] той же параболы. Если вы, читатель, в душе истинный математик, то слов не нужно: да возрадуется ваше эстетическое чувство…
Еще в далекую докомпьютерную эпоху великий философ и математик Готфрид Лейбниц высоко оценил роль графики в научном исследовании. "Фигуры полезны для того, чтобы пробуждать мысль!" – утверждал он. Какие же мысли пробуждают "фигуры", приведенные на рис. 3?
Во-первых, мысли о связи времен. Оценка расстояния между двумя визуальными образами (a) и (b) дает результат, который звучит для современной математики неправдоподобно и парадоксально: это "расстояние" равно вовсе не 3-5 сантиметрам, а … 2500 годам! Действительно, фактически вся математическая информация о свойствах квадратов натуральных чисел, представленная на графике (a), была известна еще во времена Пифагора.Пифагор принес в жертву Богам в честь успешного доказательства своей знаменитой теоремы сотню быков. Как известно, это деяние послужило для первой леди российской математики Софьи Ковалевской поводом к замечанию: "С тех пор все скоты дрожат, когда в науке открываются новые истины!"
Однако понадобилось изобрести персональный компьютер и ККГ, чтобы увидеть пифограммы. Видно, потому, что во времена Пифагора еще не научились использовать шкуры жертвенных быков для финансирования перспективных научных исследований …
Во-вторых, мысли философские. Действительно, пифограммы (b) и (c) демонстрируют нам совершенно фантастический и тем не менее абсолютно реальный факт преобразования, трансформации одной, но бесконечной параболы (a) в бесконечное семейство конечных парабол (b) и (c). Есть повод поразмышлять над философскими вопросами конечной структуризации бесконечного.
В-третьих, мысли исторического характера - "ничто не ново под Луной…". Оказывается, еще в 1841 году знаменитый Мебиус (тот, который изобрел знаменитый "Лист Мебиуса") использовал некие параболические номограммы для перемножения целых чисел! Именно эти работы Мебиуса заложили основы современной номографии – науки о вычислениях с помощью специальных заранее рассчитанных "картинок". Если бы Мебиус имел компьютер!..
Много лет я относился к своим пифограммам и к научным открытиям, которые с помощью таких пифограмм совершались, как на причудливое соединение чистой эстетики и математического интеллекта. Но недавно появилась идея использовать "пифографические" преобразования парабол для поиска и анализа инвариантных структур. Виден путь к прогнозированию ситуаций в динамике хаоса (а именно такая динамика характерна для социальных, финансовых, экологических и прочих катаклизмов). Ведь никакая наука не может быть совсем уж "чистой", т. е. неприкасаемой для общества. Дай-то Бог, чтобы реальная, т. е. "нечистая" прикладная наука была бы во благо этому обществу, а не во вред ему…